In un ambiente tridimensionale abbiamo 3 piani perpendicolari tra di loro; in 4 dimensioni invece, questi piani diventano 6 e sono rappresentati appunto dalle varie coppie possibili dei 4 valori in entrata: [Z.r, Z.i], [Z.r, C.r], [Z.r, C.i], [Z.i, C.r], [Z.i, C.i], [C.r, C.i]. Questi piani sono tutti perpendicolari tra di loro e sono i piani che si riconoscono a prima vista, ma ovviamente il numero di piani su cui potremmo effettuare delle sezioni da visualizzare e’ infinito. Questo e’ il punto che ci permette di renderizzare delle vere e proprie animazioni che includono delle rotazioni del Buddhabrot. Prima di parlare di questo, pero’, vediamo quali sono le modifiche da effettuare al file sorgente che ho distribuito nel precedente articolo per renderizzare sezioni di piani diverse.

In realta’, la modifica da fare e’ una sola ed e’ questa: nella funzione escape() si trova questa parte:

zz[(int)N].r = ZOOM*(Z.r+OFFSET_X)*(WIDTH/2);
zz[(int)N].i = ZOOM*(Z.i)*(HEIGHT/2) + HEIGHT/2;

Come vedete, le coordinate che prendiamo in considerazione sono Z.r e Z.i. Basta cambiare questi valori per renderizzare un’altra sezione del frattale. Se al posto di Z.i mettiamo, per esempio, C.r, visualizzeremo l’oggetto visto dal piano [Z.r, C.r].

Vediamo ora come realizzare una rotazione del frattale. Quello che vogliamo fare e’, in poche parole, passare gradualmente dall’immagine di un piano, diciamo [Z.r, Z.i] a quella di un’altro, per esempio, [Z.i, C.r]. Per fare cio’ dobbiamo modificare sempre la formula precedente, nella seguente maniera:

zz[(int)N].r = ZOOM*(rot*Z.r+Z.i*(1-rot)+OFFSET_X)*(WIDTH/2);
zz[(int)N].i = ZOOM*(rot*Z.i+C.r*(1-rot))*(HEIGHT/2) + HEIGHT/2;

E’ apparso un nuovo coefficiente, rot. Questo, come potete immaginare, e’ un coefficiente che rappresenta, se vogliamo, l’angolo di rotazione. Per un valore di rot pari a 1, verra’ renderizzato il piano [Z.r, Z.i] poiche’ 1-rot = 0 e quindi le parti Z.i e C.r si annullano. Per rot = 0, avverra’ il contrario. Ovviamente per valori di rot che variano tra 0 e 1 otteremo immagini diverse, per esempio, visto che la rotazione complessiva e’ di 90° (da rot = 0 a rot = 1), rot=0.5 dovrebbe corrispondere ad una rotazione di 45°. Se si renderizzano varie immagini per valori di rot che aumentano progressivamente da 0 a 1, si otterra’ una vera e propria animazione del Buddhabrot rotante.

Ora, se non volete mettervi a modificare manualmente ogni volta il valore di rot, vi conviene aggiungere un paio di cicli for al codice e fare in modo che, ad ogni ciclo, il valore di rot venga modificato per renderizzare un’immagine diversa. Ecco un esempio di “rotazione”, anche se non appare affatto come tale:

Vi lascio un ultimo link alla pagina originale creata da chi ha scoperto questa tecnica (e’ in inglese): http://www.superliminal.com/fractals/bgram/ZrZiOut.htm

Quando si renderizza l’insieme di Mandelbrot l’appartenenza di un punto all’insieme viene stabilita in base alla divergenza dello stesso. Per testare la divergenza viene applicata la formula su di esso diverse volte e, se il punto non accenna a divergere dopo un determinato numero di iterazioni (detto bailout) il punto viene considerato appartenente all’insieme. Chiaramente questo è scorretto dal punto di vista teorico, perchè si dovrebbe verificare che un punto non diverge quando il bailout tende all’infinito, ma visto che non è possibile effettuare un numero infinito di iterazioni ci si accontenta di un valore di bailout abbastanza alto che consente una notevole approssimazione. Ah, un punto viene considerato divergente quando la sua distanza dall’origine diventa maggiore di 2.

Quando il bailout è abbastanza alto i risultati che otterremo saranno più precisi. Anche se il bailout è relativamente trascurabile per l’insieme di Mandelbrot (con valori abbastanza alti non si nota la differenza tra un valore ed un altro a meno che non stiamo zoomando), esso diviene fondamentale per renderizzare il Buddhabrot, ecco due immagini con valori di bailout diversi:

Buddhabrot N=20

Buddhabrot N=200

• bailout: come abbiamo appena detto, più il bailout è elevato e minore sarà il margine di errore che potremmo avere su ogni punto. Per esempio, ci sono punti che divergono molto lentamente e che con un bailout basso vengono considerati non divergenti.

• numero di pixels esaminati: di più pixels esaminiamo le traiettorie e più nitida sarà la nostra immagine. Quando il numero di pixels non è sufficiente otteniamo un fastidioso “effetto griglia”.

• risoluzione: ovviamente, più è alta la risoluzione è migliore sarà la nostra immagine. C’è da notare, però, che immagini a risoluzione più alta richiedono un numero di pixels esaminati maggiore per ottenere risultati buoni, rispetto a immagini con risoluzione minore.

I tempi di rendering per questo tipo di frattale sono piuttosto lunghi, e quando i parametri qualitativi sono elevati diventano quasi insopportabili.

Le immagini che abbiamo visto fino ad ora sono tutte in bianco e nero. Per ottenere risultati a colori viene usata una tecnica simile a quella che la NASA usa per colorare le immagini astronomiche, cioè i falsi colori. Così come la NASA assegna un colore diverso ad ogni frequenza della luce che riceve dallo spazio, noi creiamo tre immagini in bianco e nero con diversi valori di bailout e le assegnamo rispettivamente ai canali R, G e B dell’immagine. Otterremo in questa maniera immagini simili alle seguenti:

valore di bailout = 500, risoluzione = 1024x1024, tempo di rendering 50 minuti

I dati di questa immagine non li ricordo... spero mi perdoniate.

(Nota: i colori dell’ultima immagine sono stati leggermente ritoccati con Photoshop)

Bene, per ora è tutto. Spero di scrivere un secondo articolo su questo argomento in cui descriverò un’altra tecnica per renderizzare animazioni con il Buddhabrot (che in realtà può essere immaginato come un oggetti in 4 dimensioni), ma siccome i tempi di rendering sono piuttosto lunghi, dovrete aspettare che finisca di renderizzare un bel video. Allego qui il file sorgente del programma che ho usato per realizzare i rendering: Buddhabrot C++

Alla prossima…