Meccanica

Già qui ci sarebbe moltissimo da dire, ma dal momento che non sono un meccanico e mai lo sarò, mi limiterò ad una breve descrizione della meccanica standard di una fresatrice CNC.
Il concetto di base è molto intuitivo, vogliamo ottenere una struttura costituita da almeno 3 assi mobili (X, Y, Z) fra loro ortogonali. In questo modo avremo uno spazio euclideo in cui è possibile rintracciare un qualsiasi punto mediante 3 coordinate. L'aggettivo "ortogonale" è molto facile da immaginare in astratto ma un po' meno da mettere in pratica, eppure è fondamentale per ottenere degli spostamenti geometricamente esatti.
Per costruire una meccanica precisa è fondamentale utilizzare apparecchiature di precisione nonché materiali di una certa solidità. La meccanica della mia fresatrice CNC è stata costruita (non da me personalmente) esclusivamente con alluminio ed acciaio che conferiscono una certa robustezza al tutto (anche se ovviamente non è il top sotto questo aspetto), lavorati con macchine cnc e rettificati ove necessario.
A seconda della pesantezza delle lavorazioni che si vorranno eseguire in macchina ci sono due tipi di configurazioni attuabili:

• Meccanica a ponte fisso
• Meccanica a ponte mobile

 La prima è sicuramente quella più rigida e consiste in un asse Y completamente svincolato dall'asse X. Quest'ultimo diventa quindi il piano della fresatrice, capace di muoversi avanti ed indietro. Svincolando l'asse Y dalla X si avrà una notevole riduzione delle vibrazioni durante le lavorazioni; i movimenti sull'asse Y non influenzeranno minimamente quelli dell'asse X consentendo più precisione su materiali particolarmente duri (vedi metalli).
Una meccanica a ponte mobile (quella in mio possesso) ha tutti gli assi vincolati fra loro. Significa che l'asse X durante gli spostamenti si porta dietro anche la Y e la Z. Di rimando gli spostamenti di questi ultimi due assi graveranno sull'asse X (e viceversa) accentuando le vibrazioni complessive e quindi diminuendo la precisione.

Queste sono le due idee base da cui partire, l'ingegnerizzazione complessiva tuttavia non è per nulla elementare se si vuole ottenere un risultato soddisfacente. La progettazione meccanica è senza dubbio una parte da non trascurare, solo così si potrà ottenere una buona macchina funzionante entro certe tolleranze.

Materiali

E' possibile utilizzare molti tipi di materiali per la costruzione della meccanica, tuttavia i più usati ed i più consoni sono l'allumino e l'acciaio. Le leghe di alluminio più usate sono l'anticorodal, l'avional e l'ergal. Quest'ultimo è quello che offre la migliore resistenza meccanica ma il suo costo è elevato. Il vantaggio di usare l'alluminio è la sua facilità di lavorazione ed il basso peso specifico confrontato all'acciaio.
Se avete intenzione di costruire una meccanica con parti in acciaio saldate dovreste prendere in considerazione un processo di normalizzazione da effettuare prima della rettifica; diversamente la struttura tenderà a deformarsi con il tempo anche in modo considerevole.
Strutture in MDF o legno multistrato possono essere prese in considerazione ove non si richiedano particolari precisioni.

Guide e viti di trasmissione

Questi due elementi permettono il movimento degli assi ed ovviamente andranno scelti con un po' di giudizio (non si andranno mai a mettere guide lineari su di una struttura in legno, tanto per fare un esempio limite). Anche in questo caso si possono fare varie scelte a seconda delle esigenze, iniziamo dalle guide:

• Guide circolari non supportate (vari diametri)
• Guide circolari supportate
• Guide lineari a ricircolo di sfere

Le prime sono le guide più economiche che comunque hanno un certo grado di precisione (alcuni si costruiscono delle guide con profilati di allumino o guide per cassetti, ma ovviamente gli attriti ed i giochi sono enormi a confronto). Si trovano in vari diametri (meglio abbondare per evitare flessioni) e sono in acciaio temprato e rettificato. Gli assi scorrono su queste guide grazie a dei manicotti a ricircolo di sfere.
Le guide supportare sono praticamente la stessa cosa, semplicemente la loro flessione è quasi nulla dal momento che vengono fissate ad una parte fissa della macchina.
Le guide lineari a ricircolo di sfere sono il top e vengono utilizzate in tutte le macchine professionali. Necessitano di un supporto fisso e consistono in un profilato di acciaio (binario) su cui scorrono dei pattini a ricircolo di sfere. Questo tipo di guide hanno gioco 0 ed attriti molto ridotti, il costo è ovviamente proporzionato a queste peculiarità.

Le viti di trasmissione sono ovviamente essenziali per il movimento degli assi sulle rispettive guide. Le viti vengono collegate ai motori direttamente (con giunto oldham) oppure tramite cinghia. Le viti utilizzate nelle macchine cnc (in particolare fresatrici e torni) sono 2:

• Viti a sezione trapezoidale
• Viti a ricircolo di sfere

La mia fresatrice monta delle viti a ricircolo. La caratteristica di queste viti è (come abbiamo visto per le guide lineari) il loro attrito molto basso ed il gioco quasi nullo che consente precisioni anche millesimali.
Le viti trapezie sono molto più economiche ma i giochi sono nell'ordine dei centesimi e l'attrito è decisamente più elevato. Inoltre la chiocciola che consente l'effettiva movimentazione dell'asse è più soggetta ad usura.
Una cosa importante da tenere in considerazione è il passo della vite. Maggiore sarà il passo e maggiore sarà lo spostamento dell'asse a parità di giri. Purtroppo all'aumentare del passo aumenta anche la forza necessaria a spostare la massa collegata alla chiocciola, e quindi la potenza del motore.

Raramente in ambito hobbistico per la trasmissione del moto vengono utilizzate delle cremagliere. Costruire una cnc con trasmissione a pignone/cremagliera è un po' più complesso e necessita di molta più precisione nel posizionamento di questi due elementi...

Termino questo articolo con alcune foto della meccanica della mia fresatrice CNC:

Nel precedente articolo ho introdotto questa serie e abbiamo esaminato due concetti importanti (gioco ottimale e gioco speculativo) che torneranno ad essere trattati sicuramente più in là; in questo, invece, introdurremo alcuni strumenti matematici di base senza i quali non possiamo procedere con la nostra trattazione. In particolare parleremo di probabilità, valore atteso (expected value, d'ora in poi abbreviato in EV), e infine di varianza. Il valore atteso può essere considerato senza ombra di dubbio, il concetto più importante che qualsiasi giocatore di poker (ma anche giocatore d'azzardo in generale) deve conoscere.

Per quanto la probabilità sia un concetto intuitivamente semplice, non ne esiste una definizione univoca. Per un approfondimento su questo argomento potete visitare la relativa pagina di Wikipedia; in questo articolo, comunque, useremo la cosidetta definizione "frequentista" che afferma che la probabilità di un evento A è pari al limite a cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti. In termini matematici:

$$P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n_A}{n}$$

In base a questa definizione possiamo calcolare, per esempio, la probabilità che una carta estratta da un mazzo standard di carte francesi di 52 carte sia una carta di cuori: per farlo potremmo procedere estraendo migliaia di carte e calcolando la frequenza con cui l'evento si verifica oppure, più semplicemente, calcolare il rapporto $\frac{13}{52}$ partendo dal presupposto che ogni carta ha la stessa probabilità di essere estratta ($\frac{1}{52}$) e che ci sono 13 carte di cuori nel mazzo. La probabilità finale è quindi $\frac{13}{52} = 0.25$ cioè del 25%.

Nota: la definizione di probabilità che abbiamo dato presuppone lo svolgimento di un numero di esperimenti tendente a infinito, ma ovviamente noi calcoleremo sempre le probabilità come abbiamo appena fatto in questo esempio; la definizione può però essere applicata quando un calcolo di questo tipo non è così immediato ed è necessario ricorrere ad una simulazione (solitamente computerizzata) in cui si misura la frequenza dell'evento.

Dati due eventi A e B essi possono essere legati tra loro in due modi: possono essere eventi indipendenti o dipendenti. Se A e B sono due eventi indipendenti il fatto che uno dei due si verifichi non influisce in alcun modo sull'altro evento. Gli eventi A = "pesco dal mazzo una carta di cuori" B = "pesco dal mazzo un asso" sono eventi indipendenti. In questo caso la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è pari al prodotto delle singole probabilità $P(A)P(B)$ (vale per tutti gli eventi indipendenti). Se due eventi A e B sono dipendenti, al contrario, il verificarsi di uno modifica la probabilità dell'altro. Se in questo caso volessimo calcolare la probabilità del verificarsi di entrambi gli eventi dovremmo calcolare il seguente prodotto:

$$\ P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$$

$$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{13}{52} * \frac{12}{51} = 0.059$$

$$\{(1, \frac{1}{6}), (2, \frac{1}{6}), (3, \frac{1}{6}), (4, \frac{1}{6}), (5, \frac{1}{6}), (6, \frac{1}{6})\}$$

Analogamente, quando giochiamo a poker e parliamo di "range", cioè un insieme di possibili carte che l'avversario può avere, non stiamo parlando altro che di una distribuzione di probabilità. Se una distribuzione di probabilità ha dei valori numerici associati ad ogni possibile evento se ne può calcolare il valore atteso che corrisponde alla sommatoria del valore associato ad ogni evento moltiplicato per la sua probabilità. In termini matematici:

$$EV = \sum_{i=1}^{n} P_iX_i$$

$$\{(testa, \frac{1}{2}), (croce, \frac{1}{2})\}$$

$$\{(10$, \frac{1}{2}), (-10$, \frac{1}{2})\}$$

$$EV = 10*\frac{1}{2} - 10*\frac{1}{2} = 0$$

Analogamente possiamo calcolare l'EV di una puntata alla roulette (a zero singolo) sul rosso o sul nero: perderemo la nostra puntata quando uscirà il nero o lo zero e vinceremo invece un importo pari a quello puntato se uscirà il rosso. Immaginando di puntare sempre sul rosso, il nostro EV sarà:

$$EV = 10\frac{18}{36} - 10\frac{19}{36} = -0.27$$$

Chiaramente non è sempre possibile (anzi quasi mai) calcolare  precisamente l'EV quando stiamo giocando però nella maggior parte dei casi possiamo almeno intuitivamente farci un'idea di quale sia la scelta migliore senza doverlo calcolare esplicitamente.

Una delle situazioni in cui più spesso è facile calcolare il nostro EV è quella in cui dobbiamo callare un all in preflop. Esempio: siamo di BB e il bottone va all in per 1000 chips, i bui sono 50/100 e il nostro stack è di 1000. Le nostre carte sono A9s; dobbiamo callare o foldare?

Se siamo in un sit and go o al tavolo finale di un torneo potrebbero entrare in gioco altre considerazioni relative all'EV monetario ($EV) della nostra scelta (vedi ICM, ma ne parleremo in seguito), in questo caso ci limiteremo a considerare unicamente l'EV in termini di chip (cEV) che ovviamente non corrisponde all'$EV poiché le chips non sono direttamente "convertibili" in denaro.

Tornando al nostro calcolo possiamo dire immediatamente che l'EV del fold è pari a 0, visto che foldando non dobbiamo mettere ulteriori soldi nel piatto. Di conseguenza non ci resta che calcolare l'EV del call: per fare ciò dobbiamo avere un'idea di quali sono le mani con cui il nostro avversario va all in in questa situazione, cioè dobbiamo avere un'idea del suo range di push. Realisticamente, potremmo dire che un range di push con 10BB da bottone potrebbe essere qualcosa tipo:

$$\{A2o+, 22+, K8o+, Q9o+, JTo\}$$

$$EV = 0.54*1150 - 0.46*900 = +207$$

$$EV = x1150 - (1-x)900 > 0$$

$$x = 0.44$$

Fare sempre scelte +EV porterà sicuramente ad un profitto nel lungo periodo; il risultato di poche mani (vedremo di quantificare più in là questo "poche", ma è quasi sempre molto di più rispetto a quanto si aspettano i giocatori) è però soggetto a "fluttuazioni" insite nella natura probabilistica del gioco. Vale a dire che così come su 10 lanci di una moneta è possibile, ma poco probabile, che esca sempre croce allo stesso modo è possibile che su X volte che eseguite un'azione che dovrebbe farvi guadagnare Y$ ne guadagnerete molti di meno o addirittura ne perderete.

La varianza è proprio una quantità associata ad una distribuzione di probabilità che ci permette di quantificare in che misura i valori assunti dalla distribuzione si allontanino dalla media (cioè dall'EV). La varianza si calcola come:

$$V = \sum{i=1}^{n} P_i(X_i - EV_p)^2$$

Legata alla varianza, e molto più usata nelle applicazioni pratiche, è la deviazione standard:

$$\sigma = \sqrt(V)$$

che è molto utile per effettuare calcoli che ci permettono di conoscere quanto è probabile che i risultati si discostino dal loro valore atteso in una certa misura. Si potrebbero fare molti esempi in merito, ma per ora lascerò a voi il compito di approfondire.

Se volete effettuare delle simulazioni di come la varianza possa influenzare i risultati, vi consiglio di provare questo sito che permette data una certa winrate e una deviazione standard mostra graficamente l'effetto della varianza.

Inoltre, prima di concludere, vorrei segnalarvi due strumenti molto importanti e di cui faremo largo uso durante questa serie di articoli.

PokerStove: è una programma che calcola l'equity di una mano (o di un range) contro una o più mani (o range).
ProPokerTools equity calculator: stessa cosa di PokerStove solo che permette di calcolare anche l'equity di mani o range per quanto riguarda l'Omaha. È un'applicazione web quindi non richiede installazione.

Arrivederci al prossimo articolo!

Su MU non avevamo mai parlato di poker prima d'ora, ma visto che è un argomento molto interessante e abbastanza affine allo spirito del blog ho deciso di iniziare a scrivere una serie di articoli, approfittando anche del fatto che proprio in questo periodo sto leggendo "The Mathematics of Poker" di Bill Chen e Jerrod Ankenman. Molto del materiale che pubblicherò sarà tratto o ispirato dai contenuti del libro, che, tra parentesi, consiglio a chiunque sia interessato ad approfondire il poker da un punto di vista strettamente matematico.

Molti giocatori ritengono che un approccio puramente matematico sia limitato o incompleto (anche se questa linea di pensiero tende ad avere sempre meno proseliti), ponendo obiezioni come "la matematica non è sempre applicabile" oppure "giocare seguendo la matematica rende il nostro gioco troppo prevedibile"; in genere questi pregiudizi derivano da una conoscenza solo parziale dei concetti matematici che stanno alla base del gioco o da una concezione sbagliata di cosa intendiamo per "approccio matematico" (o da entrambe le cose).

Nel libro troverete una "confutazione" per ognuna delle obiezioni più comuni che vengono poste, comunque, durante il resto della serie proverò a mostrare come ogni decisione che prendiamo al tavolo da poker possa essere formulata in termini matematici, quindi se siete scettici ma curiosi vi consiglio di continuare la lettura. Se siete scettici e credete di sapere già tutto quello che vi serve, potete smettere di leggere qui e spero di incontrarvi in un tavolo da poker.

Tutto quello che andremo a trattare in questo e nei prossimi articoli è riassumibile in un solo principio/obiettivo:

MASSIMIZZARE IL PROFITTO MEDIO

L'idea della massimizzazione del profitto medio potrebbe sembrare una cosa scontata per molti, ma è l'idea di base su cui si fondano tutte le nostre strategie e che non cambierà in qualsiasi condizione di gioco ci troviamo (cash game, sit and go, tornei).

Gioco ottimale e gioco speculativo

La teoria dei giochi è quella branca della matematica che si occupa di trovare la strategia ottimale per un gioco o, quando la complessità di un gioco è tale che la formulazione di una strategia ottimale è troppo complessa (come nel poker), trovare caratteristiche tali che una strategia si avvicini il più possibile a quella ottimale. Prima di andare avanti mi vorrei soffermare un po' sul significato dei termini "strategia", "ottimale" e "speculativo" (ho tradotto il termine inglese "exploitive" con "speculativo" in mancanza di una traduzione migliore, se qualcuno ha dei suggerimenti scriva pure nei commenti o sul nostro forum).

Strategia: per strategia, nell'ambito della teoria dei giochi, si intende un insieme di regole che indicano l'azione da eseguire per ogni possibile situazione all'interno del gioco. Nel poker, per esempio, una strategia dovrebbe stabilire come comportarci su ogni possibile combinazione di flop, turn, river, numero di avversari, dimensione dello stack e tutte le altre possibili variabili. Al giorno d'oggi non abbiamo la potenza di calcolo sufficiente per elaborare una tale strategia completa per un gioco come il poker, ed è per questo motivo che la strategia ottimale (spesso abbreviata in inglese con GTO, game theoretic optimal) è, e probabilmente rimarrà per ancora molto tempo, un problema intrattabile a livello pratico. Ciò non vuol dire comunque che da questo argomento non possano essere tratti interessantissimi spunti di riflessione visto anche che, per alcune situazioni particolari (per esempio quando si è short stacked in un torneo o sit and go), la strategia ottimale esiste ed è nota.

Nota: all'interno dei seguenti articoli userò spesso il termine strategia più liberamente, cioè sia nella sua accezione più ampia di "piano d'azione" che nell'accezione tipica della teoria dei giochi.

Speculativo: con il termine speculativo (dall'inglese "exploitive") s'intende una particolare strategia di gioco che mira a sfruttare le debolezze dell'avversario per massimizzare il nostro profitto, anche se agendo in questo modo, ci rendiamo a nostra volta vulnerabili.

Ottimale: al contrario di quello che si potrebbe credere, una strategia ottimale non è una strategia che massimizza il nostro profitto medio in tutte le situazioni, cioè, potenzialmente, non è la strategia che ci farà guadagnare di più.

Per strategia ottimale, sempre nell'ambio della tdg, si intende una strategia che rende il nostro gioco totalmente invulnerabile, o, in inglese, unexploitable.

Credo sia opportuno fare un po' di esempi per chiarire la situazione.

Prendiamo in considerazione il gioco sasso-forbice-carta (o morra cinese). In questo caso l'unica azione che dobbiamo fare durante ogni "partita" è solo quella di scegliere cosa tirare ad ogni colpo, di conseguenza elaborare una strategia (intesa nel senso della teoria dei giochi) non è un problema.

La strategia ottimale in questo gioco, e credo lo si capisca anche intuitivamente, è quella di scegliere casualmente cosa tirare, o, in altri termini, tirare con 1/3 di probabilità sasso, 1/3 carta e 1/3 forbice. Penso risulti abbastanza chiaro come una strategia di questo tipo non possa essere sfruttata in alcun modo dal nostro avversario per ottenere un vantaggio.

Ciò nonostante, questa potrebbe non essere la strategia che massimizza il numero di vittorie contro un determinato avversario. Per massimizzare il numero di vittorie nel caso estremo di un avversario che tira sempre carta dovremmo in effetti tirare sempre forbice. Comportandoci in questo modo staremmo impiegando una strategia "massimamente speculativa" (maximally exploitive) rispetto alla strategia impiegata dal nostro avversario: il problema dell'utilizzo di una tale strategia è che ci rendiamo a nostra volta vulnerabili ad essere "exploitati" da un avversario che intuisce il nostro stile di gioco, possibilità che invece non gli viene offerta quando giochiamo con una strategia ottimale.

Prima di concludere facciamo un esempio riguardante il poker. Siamo al river contro un avversario che, in base alle informazioni che abbiamo, folda troppo spesso alle nostre puntate: è ovvio che contro un avversario del genere guadagneremo di più puntando molto più spesso del normale, poiché compenseremo le volte che verremo chiamati e perderemo la nostra puntata con tutte le altre in cui folderà e vinceremo il piatto. Questo è solo un esempio generale di strategia "maximally exploitive": ovviamente quanto e quanto spesso dobbiamo puntare per massimizzare il profitto dipende dalle dimensioni del piatto e dalla frequenza di fold dell'avversario, ma per ora tralasciamo i calcoli. Possiamo notare però che applicare questa strategia ci rende a nostra volta vulnerabili se il nostro avversario si accorge che puntiamo troppo frequentemente e modifica la sua strategia da quella in cui folda troppo spesso a quella in cui comincia a chiamare anche con mani marginali. Ad ogni modo, nella situazione in cui l'avversario folda troppo spesso, la strategia che massimizza il nostro profitto è quella appena descritta e non quella ottimale (vedremo più avanti esempi più elaborati).

Note finali

Sebbene i concetti che andremo a trattare possano essere applicati a quasi tutte le varianti di Poker, durante il resto della serie gli esempi saranno unicamente mani di No Limit Texas Hold'em o Pot Limit Omaha High, ma questo non dovrebbe essere un problema visto che sono comunque le due varianti più conosciute.

Poi non so se avete notato ma c'è anche un forum tutto bellino minimalista; potete accedervi cliccando sul gelato cioccolatoso qui sulla destra (il modo migliore), oppure attraverso il link qua sopra sulla barra rossa.

Non c'è ancora un regolamento, ma adotteremo una moderazione stile nazista; ciò significa che potete comportarvi un po' come vi pare e postare qualsiasi cosa abbiate in mente, ma se non ci garba il vostro modo di fare vi banniamo senza spiegazioni. la democrazia porterebbe solo a discussioni inutili.

grazie e ciao.