Matematica e Poker, parte II: Probabilità, valore atteso e varianza

22 October 2011 da Francesco

Nel precedente articolo ho introdotto questa serie e abbiamo esaminato due concetti importanti (gioco ottimale e gioco speculativo) che torneranno ad essere trattati sicuramente più in là; in questo, invece, introdurremo alcuni strumenti matematici di base senza i quali non possiamo procedere con la nostra trattazione. In particolare parleremo di probabilità, valore atteso (expected value, d'ora in poi abbreviato in EV), e infine di varianza. Il valore atteso può essere considerato senza ombra di dubbio, il concetto più importante che qualsiasi giocatore di poker (ma anche giocatore d'azzardo in generale) deve conoscere.

Per quanto la probabilità sia un concetto intuitivamente semplice, non ne esiste una definizione univoca. Per un approfondimento su questo argomento potete visitare la relativa pagina di Wikipedia; in questo articolo, comunque, useremo la cosidetta definizione "frequentista" che afferma che la probabilità di un evento A è pari al limite a cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti. In termini matematici:

P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n_A}{n}


Dove n_A è appunto il numero delle volte in cui si verifica l'esito di cui stiamo misurando la probabilità, ed n è il numero totale degli esperimenti. Un numero che rappresenta una probabilità è quindi un numero compreso tra 0 e 1 (poiché n_A < n   per definizione), dove 1 rappresenta un evento certo e 0 un evento impossibile.


In base a questa definizione possiamo calcolare, per esempio, la probabilità che una carta estratta da un mazzo standard di carte francesi di 52 carte sia una carta di cuori: per farlo potremmo procedere estraendo migliaia di carte e calcolando la frequenza con cui l'evento si verifica oppure, più semplicemente, calcolare il rapporto \frac{13}{52} partendo dal presupposto che ogni carta ha la stessa probabilità di essere estratta (\frac{1}{52} ) e che ci sono 13 carte di cuori nel mazzo. La probabilità finale è quindi \frac{13}{52} = 0.25 cioè del 25%.

Nota: la definizione di probabilità che abbiamo dato presuppone lo svolgimento di un numero di esperimenti tendente a infinito, ma ovviamente noi calcoleremo sempre le probabilità come abbiamo appena fatto in questo esempio; la definizione può però essere applicata quando un calcolo di questo tipo non è così immediato ed è necessario ricorrere ad una simulazione (solitamente computerizzata) in cui si misura la frequenza dell'evento.

Dati due eventi A e B essi possono essere legati tra loro in due modi: possono essere eventi indipendenti o dipendenti. Se A e B sono due eventi indipendenti il fatto che uno dei due si verifichi non influisce in alcun modo sull'altro evento. Gli eventi A = "pesco dal mazzo una carta di cuori" B = "pesco dal mazzo un asso" sono eventi indipendenti. In questo caso la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è pari al prodotto delle singole probabilità P(A)P(B) (vale per tutti gli eventi indipendenti). Se due eventi A e B sono dipendenti, al contrario, il verificarsi di uno modifica la probabilità dell'altro. Se in questo caso volessimo calcolare la probabilità del verificarsi di entrambi gli eventi dovremmo calcolare il seguente prodotto:

\ P(A \cap B) = P(A)P(B|A)

Dove con P(B|A) si intende la probabilità condizionata di B dato A, cioè la probabilità che si verifichi B dopo che A si è già verificato. Se P(B|A) = P(B) allora ovviamente gli eventi non sono dipendenti. Per fare un esempio, calcoliamo la probabilità che ci venga data una mano con due carte di cuori. A = "la prima carta estratta è di cuori" B = "la seconda carta estratta è di cuori" La probabilità di estrarre una carta di cuori dal mazzo è, come abbiamo già calcolato in precedenza, pari a \frac{13}{52} . Se però la prima carta estratta dal mazzo è una carta di cuori, la probabilità che anche la seconda lo sia sarà leggermente inferiore. Abbiamo detto quindi che P(A) = \frac{13}{52} mentre P(B|A) sarà pari a \frac{12}{51} , dove 12 sono le carte di cuori rimaste mentre 51 sono le carte totali del mazzo.

P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{13}{52} * \frac{12}{51} = 0.059



Spesso però è utile considerare, piuttosto che la probabilità di un singolo evento, quella di un insieme di eventi: per fare ciò dobbiamo utilizzare le cosiddette distribuzioni di probabilità. Una distribuzione di probabilità non è altro che una funzione che associa ad ogni evento una probabilità, con la caratteristica che la somma delle probabilità di tutti i singoli eventi che appartengono alla distribuzione sia pari ad 1. La distribuzione associata al lancio di un dado è:

\{(1, \frac{1}{6}), (2, \frac{1}{6}), (3, \frac{1}{6}), (4, \frac{1}{6}), (5, \frac{1}{6}), (6, \frac{1}{6})\}

Dove a ogni singolo risultato è associato il valore 1/6.

Analogamente, quando giochiamo a poker e parliamo di "range", cioè un insieme di possibili carte che l'avversario può avere, non stiamo parlando altro che di una distribuzione di probabilità. Se una distribuzione di probabilità ha dei valori numerici associati ad ogni possibile evento se ne può calcolare il valore atteso che corrisponde alla sommatoria del valore associato ad ogni evento moltiplicato per la sua probabilità. In termini matematici:

EV = \sum_{i=1}^{n} P_iX_i

Immaginiamo di giocare a testa o croce, il lancio di una moneta ha la seguente e ovvia distribuzione di probabilità:

\{(testa, \frac{1}{2}), (croce, \frac{1}{2})\}

Se ipotizziamo di vincere 10$ quando puntiamo su testa e perderli quando esce su croce abbiamo:

\{(10$, \frac{1}{2}), (-10$, \frac{1}{2})\}

di cui possiamo calcolare l'EV:

EV = 10*\frac{1}{2} - 10*\frac{1}{2} = 0

Una scommessa di questo tipo ha, come si può immaginare, un EV nullo.

Analogamente possiamo calcolare l'EV di una puntata alla roulette (a zero singolo) sul rosso o sul nero: perderemo la nostra puntata quando uscirà il nero o lo zero e vinceremo invece un importo pari a quello puntato se uscirà il rosso. Immaginando di puntare sempre sul rosso, il nostro EV sarà:

EV = 10\frac{18}{36} - 10\frac{19}{36} = -0.27$

L'EV, che altro non è che il nostro profitto medio su questa scommessa, è negativo: ciò vuol dire che in media perderemo 0.27$ ad ogni puntata e che questa è una scommessa che dovremmo evitare. Anche ognuna delle possibili scelte che facciamo durante una mano di poker ha un EV associato ad essa: per mostrare un profitto nel lungo periodo dobbiamo quindi cercare sempre di prendere la scelta che massimizza il nostro EV, ovvero la scelta che ha un EV positivo e maggiore di tutti le altre.

Chiaramente non è sempre possibile (anzi quasi mai) calcolare  precisamente l'EV quando stiamo giocando però nella maggior parte dei casi possiamo almeno intuitivamente farci un'idea di quale sia la scelta migliore senza doverlo calcolare esplicitamente.

Una delle situazioni in cui più spesso è facile calcolare il nostro EV è quella in cui dobbiamo callare un all in preflop. Esempio: siamo di BB e il bottone va all in per 1000 chips, i bui sono 50/100 e il nostro stack è di 1000. Le nostre carte sono A9s; dobbiamo callare o foldare?

Se siamo in un sit and go o al tavolo finale di un torneo potrebbero entrare in gioco altre considerazioni relative all'EV monetario ($EV) della nostra scelta (vedi ICM, ma ne parleremo in seguito), in questo caso ci limiteremo a considerare unicamente l'EV in termini di chip (cEV) che ovviamente non corrisponde all'$EV poiché le chips non sono direttamente "convertibili" in denaro.

Tornando al nostro calcolo possiamo dire immediatamente che l'EV del fold è pari a 0, visto che foldando non dobbiamo mettere ulteriori soldi nel piatto. Di conseguenza non ci resta che calcolare l'EV del call: per fare ciò dobbiamo avere un'idea di quali sono le mani con cui il nostro avversario va all in in questa situazione, cioè dobbiamo avere un'idea del suo range di push. Realisticamente, potremmo dire che un range di push con 10BB da bottone potrebbe essere qualcosa tipo:

\{A2o+, 22+, K8o+, Q9o+, JTo\}

Ma molto spesso anche più ampio. Comunque, la nostra equity contro questo range è pari al 54%. Il nostro EV sarà quindi pari a.

EV = 0.54*1150 - 0.46*900 = +207

Cioè la probabilità di vittoria per l'importo che vinciamo (1150, il suo all in di 1000 + 150 di blinds) a cui sottraiamo la probabilità di perdere moltiplicata per l'importo che perdiamo (900 per effettuare il call). Siccome il risultato è positivo in questa situazione ci conviene fare call se effettivamente riteniamo che il nostro avversario abbia il range appena descritto e non entrano in gioco ulteriori considerazioni relative all'$EV (in seguito faremo esempi anche su questo). In questo esempio, visto che dobbiamo mettere 900 per vincere 1150 è +EV fare call anche con mani che hanno un'equity leggermente minore del 50%, cioè con mani sfavorite preflop. Possiamo calcolare l'equity minima che ci serve per mostrare un profitto nel lungo periodo nel seguente modo:

EV = x1150 - (1-x)900 > 0



Da cui ricaviamo

x = 0.44

. Cioè ci basta avere un equity del 44% e avremo un profitto nel lungo periodo anche se siamo sfavoriti (questo per i soldi extra che ci sono nel piatto a causa dei blinds, soldi comunemente chiamati "dead money").

Fare sempre scelte +EV porterà sicuramente ad un profitto nel lungo periodo; il risultato di poche mani (vedremo di quantificare più in là questo "poche", ma è quasi sempre molto di più rispetto a quanto si aspettano i giocatori) è però soggetto a "fluttuazioni" insite nella natura probabilistica del gioco. Vale a dire che così come su 10 lanci di una moneta è possibile, ma poco probabile, che esca sempre croce allo stesso modo è possibile che su X volte che eseguite un'azione che dovrebbe farvi guadagnare Y$ ne guadagnerete molti di meno o addirittura ne perderete.

La varianza è proprio una quantità associata ad una distribuzione di probabilità che ci permette di quantificare in che misura i valori assunti dalla distribuzione si allontanino dalla media (cioè dall'EV). La varianza si calcola come:

V = \sum{i=1}^{n} P_i(X_i - EV_p)^2

Legata alla varianza, e molto più usata nelle applicazioni pratiche, è la deviazione standard:

\sigma = \sqrt(V)

che è molto utile per effettuare calcoli che ci permettono di conoscere quanto è probabile che i risultati si discostino dal loro valore atteso in una certa misura. Si potrebbero fare molti esempi in merito, ma per ora lascerò a voi il compito di approfondire.

Se volete effettuare delle simulazioni di come la varianza possa influenzare i risultati, vi consiglio di provare questo sito che permette data una certa winrate e una deviazione standard mostra graficamente l'effetto della varianza.

Inoltre, prima di concludere, vorrei segnalarvi due strumenti molto importanti e di cui faremo largo uso durante questa serie di articoli.

PokerStove: è una programma che calcola l'equity di una mano (o di un range) contro una o più mani (o range).
ProPokerTools equity calculator: stessa cosa di PokerStove solo che permette di calcolare anche l'equity di mani o range per quanto riguarda l'Omaha. È un'applicazione web quindi non richiede installazione.

Arrivederci al prossimo articolo!

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Pubblicato in Altro | Commenti (1)

Una risposta a “Matematica e Poker, parte II: Probabilità, valore atteso e varianza”

  1. R ha scritto:
    13 January 2012 alle 07:34

    Ciao, complimenti per l'articolo!
    Volevo segnalare un errore di battitura, quando si calcola la probabilità che ci venga data una mano con due carte di cuori: nella formula c'è scritto 11/51 al posto di 12/51.

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